Tugas

Tugas

Agustus 12, 2021

Kumpulan Tugas

1. Sinus

Jika $\sin px = \sin a$ dengan p dan a dalah konstanta, maka

Dalam bentuk derajat:

$x_1 = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}$

$x_2 = \frac{(180^{\circ} - a)}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}$

Sebagai contoh:

$\sin 3x^{\circ} = 0, 0^{\circ}\le x \le 360^{\circ}$

Maka:

$\sin 3x^{\circ} = \sin 180^{\circ}$

$x_1 = \frac{180}{3} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{3} = 60 + (k \times 120), k \epsilon B$

$x_2 = \frac{(180^{\circ} - a)}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p} = \frac{(180^{\circ} - 180)}{3} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{3} = k \times 120, k \epsilon B$

$x_2 k \times 120, k \epsilon B$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

$60 + (k \times 120) \cup (k \times 120), k \epsilon B$

k = 0 $\rightarrow x_1$ = 60 atau $x_2$ = 0

k = 1 $\rightarrow x_1$ = 180 atau $\rightarrow x_2$ = 120

k = 2 $\rightarrow x_1$ = 300 atau $\rightarrow x_2$ = 240

k = 3 $\rightarrow x_2$ = 360

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

(0, 60, 120, 180, 240, 300, 360)

2. Cosinus

Jika $\cos px = \cos a$ dengan p dan α adalah konstanta, maka:

Dalam bentuk derajat:

$x = \pm \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 360^{\circ}}{p}$

Sebagai contoh:

$2 cos(2x - 60^{\circ}) - \sqrt{3} = 0, 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}$

Maka:

$2 cos(2x - 60^{\circ}) - \sqrt{3} = 0$

$\cos(2x - 60^{\circ}) = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\cos(2x - 60^{\circ}) = \cos 30^{\circ}$

Sehingga:

$2x - 60^{\circ} \pm 30^{\circ} + k \times 360^{\circ}$

$2x = 60^{\circ} \pm 30^{\circ} + k \times 360^{\circ}$

Diperoleh:

$x_1 = 45^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B$

$x_2 = 15^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

$45^{\circ} + k \times 180^{\circ}\cup 15^{\circ} + k \times 180^{\circ}, k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x_1 = 45^{\circ}$ atau $x_2 = 15^{\circ}$

$k = 1 \rightarrow x_1 = 45^{\circ} + 180^{\circ} = 180^{\circ} = 225^{\circ}$ atau $x_2 = 15^{\circ} + 180^{\circ} = 115^{\circ}$

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

$(156{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}, 225^{\circ})$

3. Tangen

Jika⁡ $\tan px = \tan a$ dengan p dan a adalah konstanta, maka

Dalam bentuk derajat:

$x = \frac{a}{p} + \frac{k \cdot 180^{\circ}}{p}$

Sebagai contoh:

$\tan(x - 45^{\circ}) = \cot 90^{\circ}, 0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}$

Maka:

$\tan (x - 45^{\circ}) = \frac{1}{3}\sqrt{3}$

$\tan (x - 45^{\circ} = \tan 30^{\circ})$

Sehingga:

$x - 45^{\circ} = 30^{\circ} + k \times 180^{\circ}$

$x = 45^{\circ} + 30^{\circ} + k \times 180^{\circ}$

$x = 75^{\circ} + k \times 180^{\circ}$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yaitu:

$x = 75^{\circ} + k \times 180^{\circ} , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x = 75^{\circ}$

$k = 1 \rightarrow x = 75^{\circ} + 180^{\circ} = 225^{\circ}$

Jadi, himpunan penyelesaian umumnya adalah:

$(75^{\circ}, 225^{circ})$

4. Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan sin x = ½ untuk -540^o≤ x ≤ 720^o

Pembahasan:

Perhatikan bahwa

Untuk x = 150^o + k . 360^o:

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = {-330^o, -210^o, 30^o, 150^o, 390^o, 510^o}.

5. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut untuk interval -120^o≤ x ≤ 450^o.

Jadi, penyelesaian dari persamaan tersebut adalah x = {-45^o, 45^o, 315^o, 405^o}.

Komentar